Question

（2009重慶卷理）（本小題滿(mǎn)分12分，（Ⅰ）問(wèn)5分，（Ⅱ）問(wèn)7分）

如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，．求：

（Ⅰ）點(diǎn)到平面的距離；

（Ⅱ）二面角的大小．      .   

Answer 1

（19）（本小題12分）

解法一：

（Ⅰ）因?yàn)锳D//BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。

因?yàn)槠矫?sub>故,從而，由AD//BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中

(Ⅱ)如答（19）圖1，過(guò)E電作交于點(diǎn)G，又過(guò)G點(diǎn)作,交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過(guò)E點(diǎn)作EF//BC,交于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面,故.

由于E為BS邊中點(diǎn)，故,在中，

,因，又

故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得

因此而在中，

 .   

在中，可得，故所求二面角的大小為

解法二：

（Ⅰ）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面

即點(diǎn)A在xoz平面上，因此

又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS與平面

yOx重合，從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn).

ΔBCS為直角三角形 ,

知

設(shè)B(0,2, )，＞0，則＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .

在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GE⊥CD . .   

由故

    ①　

又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有�、�

聯(lián)立①、②，解得G＝　,

故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為  .

因?yàn)?sub>=，,所以.   

 

故所求的二面角的大小為 .