Question

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在橢圓上，橢圓右焦點(diǎn)F為△ABC的重心，則|AF|+|BF|+|CF|的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：本填空題采用取特殊位置的方法求解，設(shè)點(diǎn)A是橢圓短軸的上端點(diǎn)，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）進(jìn)而根據(jù)橢圓方程求得b和c，進(jìn)而可求得A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)可分別求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C點(diǎn)代入橢圓方程后兩式相減，進(jìn)而求得直線BC的斜率，設(shè)出直線BC的方程，把B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入兩式相加求得b，則直線BC方程可得，從而得出B，C的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得．
解答：解：設(shè)點(diǎn)A是橢圓短軸的上端點(diǎn)，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
橢圓方程得
∴b= a=2
∴c=1，則A（0， ） F（1，0）
∴=1，x₁+x₂=3
同理y₁+y₂=-
又3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）×k=0
∴k=，k為BC斜率
令BC直線為：y=x+m
則：y₁+y₂=（x₁+x₂）+2m
b=-
∴BC直線為：y=x-代入橢圓的方程求得B（2，-），C（1，-）．
利用兩點(diǎn)是的距離公式得：則|AF|+|BF|+|CF|=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．