Question

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x²＋(a∈R且a≠0)．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)的定義域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0180/0018/31716e89b06a37a5c4376bb3ce0cd37a/C/Image93.gif" width=49 height=21>． 　　．2分 　　當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，． 　　所以的單調(diào)遞減區(qū)間是．3分 　　當(dāng)時(shí)，令得或(舍)． 　　函數(shù)，隨的變化如下： 　　所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．6分 　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是； 　　當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： 　　當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減． 　　所以在上的最大值為，即對(duì)任意的，都有；7分 　　當(dāng)時(shí)， 　�、佼�(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減． 　　所以在上的最大值為，即對(duì)任意的，都有；10分 　�、诋�(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增， 　　所以． 　　又， 　　所以，與對(duì)于任意的，都有矛盾．12分 　　綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足題意，此時(shí)的取值范圍是．13分