Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC，點F是線段CC₁的中點
（Ⅰ）證明：AF∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DB-A的正切值；
（Ⅲ）求三棱錐F-BED的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC，交BD于O，根據(jù)三角形中位線定理易得：OE∥AF，再由線面平行的判定定理，即可得到AF∥平面BED
（II）如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．求出平面A₁DB的一個法向量和平面ADB的一個法向量，代入向量夾角公式即可求出二面角A₁-DB-A的正切值；
（Ⅲ）三棱錐F-BED的體積等于三棱錐F-BCD與三棱錐E-BCD的差，根據(jù)棱錐的體積公式分別計算出三棱錐F-BCD與三棱錐E-BCD的體積，即可得到答案．

解答：證明：（I）連接AC，交BD于O，則O為AC的中點，連接EO
∵點E在CC₁上且C₁E=3EC，點F是線段CC₁的中點
∴E為CF的中點，則OE∥AF
又∵OE?平面BED，AF?平面BED
∴AF∥平面BED
解：（II）如圖，建立空間直角坐標系D-xyz．
則A（2，0，0）B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)=（0，2，2），A₁（2，0，4）．
則

DB

=(2，2，0)，

DA1

=(2，0，4)
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A₁DB的一個法向量，則

2x+2y=0 2x+4z=0

令z=1，

n

=（-2，2，1）
又∵

AA1

=（0，0，4）為平面ADB的一個法向量，
則cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n |•| AA1|

=

1

3

則tan＜

n

，

AA1

＞=2

2

即二面角A₁-DB-A的正切值為2

2

．
（Ⅲ）三棱錐F-BED的體積等于三棱錐F-BCD與三棱錐E-BCD的差
∴V_F-BED=V_F-BCD-V_E-BCD=

1

3

•(FC-EC)•S△BCD=

1

3

•FE•S△BCD=

2

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，線面垂直的判定，（1）的關(guān)鍵是得到OE∥AF，（2）的關(guān)鍵是建立坐標系，求出兩個平面的法向量，（3）的關(guān)鍵是分析三棱錐F-BED的體積等于三棱錐F-BCD與三棱錐E-BCD的差．