Question

已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示， 其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積V的大小;

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQBQ并說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在點(diǎn)Q，使得AQBQ.

【解析】

試題分析：（1）由三視圖還原幾何體為一個(gè)錐體，利用錐體體積公式求解；（2）法1：化空間角為平面角，在一個(gè)三角形內(nèi)求值；法2：建立空間直角坐標(biāo)系求解；（3）法1：假設(shè)存在，通過構(gòu)造面面垂直來實(shí)現(xiàn)AQBQ；法2：建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為兩對應(yīng)向量數(shù)量積為零，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴

∴．

即該幾何體的體積V為．                 3分

（2）解法1:過點(diǎn)B作BF//ED交EC于F，連結(jié)AF，

則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．    5分

在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．

∴．

即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．                  7分

解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）

∴，∴ 

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．

（3）解法1:在DE上存在點(diǎn)Q，使得AQBQ.                     8分

取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q滿足題設(shè).

連結(jié)EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中

∵    ∴∽    

∵  ∴  

∴．                                               11分

∵,

∴

∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．切點(diǎn)為Q

∴

∵面,面  ∴ ∴面       13分

∵面ACQ

∴．                                                14分

解法2: 以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在,其坐標(biāo)為（0，m，n），則

，

∵AQBQ    ∴               ①

 ∵點(diǎn)Q在ED上，∴存在使得

∴      ②

②代入①得，解得

∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，其坐標(biāo)為．

考點(diǎn)：1.三視圖；2.錐體的體積；3.異面直線所成角；4探究性問題證明線線垂直；5.利用空間向量解決幾何問題.