Question

對于任意正整數n，猜想2^n-1與（n+1）²的大小關系，并給出證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：對n=1，2，3，4，…取值驗證或借助于函數y=2^x與y=x²的圖象，找出最小的正整數m等于6，再按照數學歸納法的步驟進行證明．

解答： 解：當n=1時2^1-1＜（1+1）² ，
當n=2時，2^2-1=2＜（2+1）² ，
當n=3時，2^3-1=4＜（3+1）² ，
當n=4時2^4-1＜（4+1）² ，
當n=5時2^5-1＜（5+1）² ，
當n=6時  2^6-1＜（6+1）²，
當n=7時  2^7-1=（7+1）² …（2分）
n=8，9，10，…時，2^n-1＞（n+1）²，
猜想n≥8時，2^n-1＞（n+1）²． …（4分）
證明：①當n=8時，由以上知結論成立；
②假設當n=k（k＞8）時，2^k-1＞（k+1）²，
則n=k+1時，2^（k+1）-1=2^1+（k+1）=2•2^k-1＞2（k+1）²．而2（k+1）²-（k+2）²=k²-2，∵k≥9∴k²-2＞0，
所以2（k+1）²-（k+2）²＞0，
即2（k+1）²＞（k+2）²，即2^（k+1）-1＞（k+2）²，即n=k+1時，結論成立，
由①，②知，對任意n≥8，結論成立．

點評：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數學歸納法證明命題．注意證明的步驟的應用．