Question

設不等式組確定的平面區(qū)域為U，確定的平面區(qū)域為V．
（I）定義坐標為整數(shù)的點為“整點”．在區(qū)域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（II）在區(qū)域U內任取3個點，記此3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的概率分布列及其數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，畫出區(qū)域U與V，可得其中整點的個數(shù)，進而由古典概型公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得區(qū)域U的面積為8，區(qū)域V的面積為4，進而可得在區(qū)域U內任取一點，該點在區(qū)域V內的概率，依題意可得X的取值為0，1，2，3；由n次獨立重復試驗中恰有k次發(fā)生的概率公式，可得X為0，1，2，3的概率，可得X的分布列，進而由期望公式，計算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意，區(qū)域U內共有15個整點，區(qū)域V內共有9個整點，
設所取3個整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率為P（v），
則P（v）==．          
（Ⅱ）區(qū)域U的面積為8，區(qū)域V的面積為4，
∴在區(qū)域U內任取一點，該點在區(qū)域V內的概率為=．                         
則X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=C₃（）（）³=，
P（X=1）=C₃¹（）¹（）²=，
P（X=0）=C₃²（）²（）¹=，
P（X=3）=C₃³（）³（）=，
∴X的分布列為

X		1	2	3
P（X）

E（X）=0×+1×+2×+3×=
點評：本題考查排列組合的運用、離散型變量的期望與方差的計算，解題時注意（Ⅰ）涉及整點，是古典概型；（Ⅱ）利用面積，是幾何概型．