Question

我們知道，在ΔABC中，若c²＝a²＋b²，則ΔABC是直角三角形．現在請你研究：若cⁿ＝aⁿ＋bⁿ(n＞2)，問ΔABC為何種三角形？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

解析：令n＝3，a＝1，b＝1，則c＝≈1.26，畫以1，1，1.26為邊的三角形草圖，觀察易知是銳角三角形． 　　上述用特值試驗的結論具有一般性，證明如下： 　　∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a，c＞b， 　　由c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC＞0就行了． 　　∵cosC＝， 　　∴要證cosC＞0，只要證a2＋b2＞c2　�、� 　　注意到條件：an＋bn＝cn， 　　于是將①等價變形為：(a2＋b2)cn－2＞cn．② 　　∵c＞a，c＞b，n＞2， 　　∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 　　即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 　　從而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn 　�。絘2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 　　這說明②式成立，從而①式也成立． 　　故cosC＞0，C是銳角，△ABC為銳角三角形．