Question

在平行四邊形ABCD中，AC=

3

BD，則∠DAB的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角形中的幾何計算

專題：計算題,解三角形

分析：由題意不妨設設AC、BD相交于點O，并設AO=CO=

3

，BO=DO=1，設AB=c，BC=b，從而利用余弦定理可得b²+c²=8，再利用余弦定理及基本不等式求最大值．

解答： 解：設AC、BD相交于點O，并設AO=CO=

3

，BO=DO=1，
設AB=c，BC=b，
則由余弦定理知：
cos∠AOB=

1+3-b2

2×1× 3

=

4-b2

2 3

，
cos∠BOC=

1+3-c2

2 3

，
而∠AOC+∠AOB=180°，
即有cos∠AOC=-cos∠AOB，
所以

4-b2

2 3

=-

1+3-c2

2 3

，
即有b²+c²=8；
從而在△ABD中再應用余弦定理知：
cos∠DAB=

b2+c2-4

2bc

=

2

bc

；
而由8=b²+c²≥2bc知，
bc≤4；
所以cos∠ABC≥

1

2

；
由于∠DAB為銳角，
所以∠DAB≤60°
即知所以銳角DAB最大值為60°
故答案為60°．

點評：本題考查了解三角形的應用及基本不等式的應用，屬于基礎題．