Question

ω是正實(shí)數(shù)，設(shè)S_ω={θ|f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函數(shù)}，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超過(guò)2個(gè)，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個(gè)元素，則ω的取值范圍是

（π，2π]

．

Answer 1

分析：依題意，ωθ=kπ+

π

2

（k∈Z）?θ=

kπ

ω

+

π

2ω

（k∈Z），于是相鄰兩θ的距離為

π

ω

，依題意

1

2

≤

π

ω

＜1，從而可得ω的取值范圍．

解答：解：要使f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函數(shù)，則ωθ=

π

2

+kπ，k∈Z，∴θ=

π

2ω

+

kπ

ω

（k∈Z），
∴相鄰兩θ的距離為

π

ω

．
∵S_ω∩（a，a+1）的元素不超過(guò)2個(gè)，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個(gè)元素，
∴

1

2

≤

π

ω

＜1．
∴1＜

ω

π

≤2．
∴π＜ω≤2π．
∴ω的取值范圍是（π，2π]．
故答案為：（π，2π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的奇偶性，考查交集及其運(yùn)算，得到

1

2

≤

π

ω

＜1是關(guān)鍵，突出考查抽象思維與邏輯思維，屬于難題．