Question

圖（1）是一個(gè)邊長為1的正三角形，將其每邊三等分，以中間一段為邊，向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去得圖（3），圖（4），…，則圖（n）中對(duì)應(yīng)圖形的周長是

3×(

4

3

)n-1

；

Answer 1

分析：由題意利用等比數(shù)列求出第n個(gè)圖形的邊長，再由等比數(shù)列求出第n個(gè)圖形的邊數(shù)，則答案可求．

解答：解：設(shè)第n個(gè)圖形的邊長為a_n，
由題意知，從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長均為上一個(gè)圖形邊長的

1

3

，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
故an=(

1

3

)n-1，
要計(jì)算第n個(gè)圖形的周長，只需計(jì)算第n個(gè)圖形的邊數(shù)，第1個(gè)圖形的邊數(shù)為3，因?yàn)閺牡?個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊數(shù)均為上一個(gè)圖形邊數(shù)的4倍，所以第n個(gè)圖形的邊數(shù)為3×4^n-1，
因此，第n個(gè)圖形的周長=(

1

3

)n-1×（3×4^n-1）=3×(

4

3

)n-1．
故答案為3×(

4

3

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了歸納推理，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答的關(guān)鍵是對(duì)規(guī)律的尋找，是中檔題．