已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當a>0時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,0]上的最小值.
解:定義域為R,f′(x)=(ax+1)′e
x+(ax+1)(e
x)′=e
x(ax+a+1),
(Ⅰ)①當a=0時,f′(x)=e
x>0,則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);
②當a>0時,解f′(x)>0得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208859.png)
,解f′(x)<0得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208860.png)
,
則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208861.png)
,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208862.png)
;
③當a<0時,解f′(x)>0得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208860.png)
,解f′(x)<0得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208859.png)
,
則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208862.png)
,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208861.png)
;
(Ⅱ)①當
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時,即當a>1時,f(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208864.png)
上是減函數(shù),在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208865.png)
上是增函數(shù),
則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208866.png)
;
②當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208867.png)
時,即當0<a≤1時,f(x)在[-2,0]上是增函數(shù),
則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208868.png)
,
綜上:當a>1時,f(x)在區(qū)間[-2,0]上最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208869.png)
,當0<a≤1時,f(x)在區(qū)間[-2,0]上最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/208870.png)
.
分析:(I)求導數(shù)f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,分a=0,a>0,a<0三種情況進行討論即可解得,由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)(I)中a>0時函數(shù)的單調(diào)性進行討論:按極值點x=
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在區(qū)間[-2,0]左側(cè)、區(qū)間內(nèi)兩種情況討論,由單調(diào)性即可得到最小值;
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查分類討論思想,屬中檔題.