(1)已知x∈(0,π),求y=sinx+
2
sinx
的最小值?
(2)若a,b為正實數(shù),且ab-(a+b)=8,求a+b的最小值?
考點:基本不等式
專題:不等式的解法及應用
分析:(1)令sinx=t,則t∈(0,1],由函數(shù)y=t+
2
t
在t∈(0,1]上單調(diào)遞減,可得結論;
(2)變形可得a+b=ab-8≤(
a+b
2
)2
-8,令t=a+b,上式變形為 t2-4t-32≥0,解不等式可得.
解答: 解:(1)∵x∈(0,π),∴sinx∈(0,1],
令sinx=t,則t∈(0,1],
∵函數(shù)y=t+
2
t
在t∈(0,1]上單調(diào)遞減,
∴當t=1即sinx=1時,y=sinx+
2
sinx
取最小值3;
(2)∵a,b為正實數(shù),且ab-(a+b)=8,
∴a+b=ab-8≤(
a+b
2
)2
-8
令t=a+b,上式變形為 t2-4t-32≥0,
解得t≥8,或t≤-4(舍去)
即a+b≥8,當且僅當a=b=4時等號成立
∴a+b的最小值為8
點評:本題考查基本不等式,涉及函數(shù)的單調(diào)性,注意基本不等式等號成立的條件是解決問題的關鍵,屬基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x4-4x3-4x2-1.
(1)設g(x)=bx2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰好有3個元素,求b的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,是否存在實數(shù)對(m,n),使f(x-m)+g(x-n)為偶函數(shù)?如存在,求出m、n;如不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列推理是否正確?若不正確,指出錯誤之處.
(1)求證:四邊形的內(nèi)角和等于360°.
證明:設四邊形ABCD是矩形,則它的四個角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°,所以四邊形的內(nèi)角和為360°.
(2)已知
2
3
都是無理數(shù),試證:
2
+
3
也是無理數(shù).
證明:設
2
3
都是無理數(shù),而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù),
所以
2
+
3
必是無理數(shù).
(3)已知實數(shù)m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,用反證法證明:關于x的方程x2+2x+5-m2=0無實根.
證明:假設方程x2+2x+5-m2=0有實根.由已知實數(shù)m滿足不等式(2m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-
1
2
,又關于x的方程x2+2x+5-m2=0的判別式△=4-4(5-m2)=4(m2-4),∵-2<m<-
1
2
,∴
1
4
<m2<4,∴△<0,即關于x的方程x2+2x+5-m2=0無實根.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

寫出下列數(shù)列的一個通項公式:
(1)
1
2
,
1
6
1
12
,
1
20
,…;
(2)1,2,4,8,…;
(3)
4
5
1
2
,
4
11
2
7
,….

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=loga
1+x
1-x
(a>0,a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由; 
(2)若0<a<1,求使f(x)>0的x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)y=
x2
x-3
(1≤x≤2)的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
16
+
y2
4
=1的弦AB的中點M的坐標為(2,1),求直線AB的方程,并求AB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知tan(α+
π
4
)=
1
2
,且-
π
2
<α<0
,則
2sin2α+sin2α
cos(α-
π
4
)
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x),且f(0)=2,則f(-5)=
 

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