Question

在平面直角坐標系xOy中，設曲線C₁：

|x|

a

+

|y|

b

=1（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為4

2

，曲線C₁上的點到原點O的最短距離為

2 2

3

．以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C₂．
（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）設AB是過橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點（與O不重合）．
①若MO=2OA，當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）曲線C₁所圍成的圖形為菱形，由菱形的面積為4

2

，結合原點到菱形一邊的距離為

2 2

3

列關于a，b的方程組，求解后得橢圓C₂的標準方程；
（2）①AB為過橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，則l過坐標原點O，設出A點和M點的坐標，
由MO=2OA，可得|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0，由此把A的坐標用M的坐標表示，然后把A的坐標代入橢圓方程求得點M的軌跡方程；
②法1、設出M點的坐標，由OM和OA垂直，把A的坐標用參數(shù)λ和M的坐標表示，然后利用兩點都在橢圓上列式，整體運算把M的坐標用參數(shù)λ表示，代入三角形的面積公式后轉化為含有λ的代數(shù)式，然后利用基本不等式求△AMB的面積的最小值．
法2、分AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接求解，斜率存在時，設出AB所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出A點坐標，進一步求得AB長度的平方，在寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后求得M的坐標，求得OM長度的平方，然后寫出△AMB的面積的平方，利用基本不等式求得△AMB的面積的平方后面積的最小值可求．

解答： 解：（1）由

|x|

a

+

|y|

b

=1，得

x a + y b =1(x≥0，y≥0) - x a + y b =1(x＜0，y≥0) x a - y b =1(x≥0，y＜0) - x a - y b =1(x＜0，y＜0)

，
又a＞b＞0，
∴曲線C₁如圖，

則

2ab=4 2 ab a2+b2 = 2 2 3

，解得a²=8，b²=1．
因此所求橢圓的標準方程為

x2

8

+y2=1；
（2）①設M（x，y），A（m，n），
則由題設知：|

OM

|=2|

OA

|，

OA

•

OM

=0．
即

x2+y2=4(m2+n2)  mx+ny=0

，
解得

m2= 1 4 y2  n2= 1 4 x2

，
∵點A（m，n）在橢圓C₂上，
∴

m2

8

+n2=1，
即

( y 2 )2

8

+(

x

2

)2=1，亦即

x2

4

+

y2

32

=1．
∴點M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

32

=1；
②（方法1）設M（x，y），則A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
∵點A在橢圓C₂上，
∴λ²（y²+8x²）=8，即y2+8x2=

8

λ2

（i）
又x²+8y²=8（ ii）
（i）+（ ii）得x2+y2=

8

9

(1+

1

λ2

)，
∴S△AMB=OM•OA=|λ|(x2+y2)=

8

9

(|λ|+

1

|λ|

)≥

16

9

．
當且僅當λ=±1（即k_AB=±1）時，(S△AMB)min=

16

9

．
（方法2）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，
設AB所在直線方程為y=kx（k≠0）．
解方程組

x2 8 +y2=1  y=kx

得xA2=

8

1+8k2

，yA2=

8k2

1+8k2

，
∴OA2=xA2+yA2=

8

1+8k2

+

8k2

1+8k2

=

8(1+k2)

1+8k2

，AB2=4OA2=

32(1+k2)

1+8k2

．
又

x2 8 +y2=1 y=- 1 k x

解得xM2=

8k2

k2+8

，yM2=

8

k2+8

，
∴OM2=

8(1+k2)

k2+8

．
由于S△AMB2=

1

4

AB2•OM2=

1

4

×

32(1+k2)

1+8k2

×

8(1+k2)

k2+8

=

64(1+k2)2

(1+8k2)(k2+8)

≥

64(1+k2)2

( 1+8k2+k2+8 2 )2

=

64(1+k2)2

81 4 (1+k2)2

=

256

81

，
當且僅當1+8k²=k²+8時等號成立，即k=±1時等號成立，
此時△AMB面積的最小值是S_△AMB=

16

9

． 
當k=0，S_△AMB=

1

2

×4

2

×1=2

2

＞

16

9

；
當k不存在時，S_△AMB=

1

2

×2

2

×2=2

2

＞

16

9

．
綜上所述，△AMB面積的最小值為

16

9

．

點評：本題考查了橢圓軌跡方程的求法，訓練了利用代入法求動點的軌跡問題，在求△AMB的面積的最小值時，運用了一題多解的辦法，方法1充分體現(xiàn)了向量在解決問題中的靈活性，方法2是學生容易想到的辦法，但運算量過大，要求學生具有較強的計算能力，兩種方法都涉及到利用基本不等式求最值，是壓軸題．