Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，求a₀+a₂+…+a₂₀₁₄的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）的展開式中含x⁶的項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）在 f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴中，分別令x=1、令x=-1可得兩個(gè)等式，由這兩個(gè)等式求得a₀+a₂+…+a₂₀₁₄ 的值．
（2）根據(jù)g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得含x⁶的項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：（1）由于f_n（x）=（1+x）ⁿ，在 f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴中，
令x=1可得 a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=f（1）=2ⁿ，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+-a₄+…+a₂₀₁₄=f（-1）=0，
再把這兩個(gè)等式相加，可得2（a₀+a₂+…+a₂₀₁₄）=2ⁿ，∴a₀+a₂+…+a₂₀₁₄=2^n-1．
（2）∵g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸，
∴含x⁶的項(xiàng)的系數(shù)為

C

6 6

+2

C

6 7

+3

C

6 8

=99．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．