【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)為
,
,離心率為
,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且
的面積最大值為
,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),
為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.
【答案】(1);(2)當(dāng)
=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值
.
【解析】
(1)的面積最大時(shí),
是短軸端點(diǎn),由此可得
,再由離心率及
可得
,從而得橢圓方程;
(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為
,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元(
)后應(yīng)用韋達(dá)定理得
,注意
,一是計(jì)算
,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線
的距離,兩者比較可得結(jié)論.
(1)因?yàn)?/span>在橢圓上,當(dāng)
是短軸端點(diǎn)時(shí),
到
軸距離最大,此時(shí)
面積最大,所以
,由
,解得
,
所以橢圓方程為.
(2)在時(shí),設(shè)直線
方程為
,原點(diǎn)到此直線的距離為
,即
,
由,得
,
,
,
所以,
,
,
所以當(dāng)時(shí),
,
,
為常數(shù).
若,則
,
,
,
,
,
綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn),
為該橢圓的一條垂直于
軸的動(dòng)弦,直線
與
軸交于點(diǎn)
,直線
與直線
的交點(diǎn)為
.
(1)證明:點(diǎn)恒在橢圓
上.
(2)設(shè)直線與橢圓
只有一個(gè)公共點(diǎn)
,直線
與直線
相交于點(diǎn)
,在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)
,使得
恒成立?若存在,求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在(時(shí))內(nèi)的頻率;
(2)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)(每組取該組的中間值作代表);
(3)以頻率估計(jì)概率,記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在(時(shí))內(nèi)的周數(shù)為
,求
的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱中,底面邊長(zhǎng)為
,側(cè)棱長(zhǎng)為4,
、
分別為棱
、
的中點(diǎn),
;
(1)求直線與平面
所成角的大��;
(2)求點(diǎn)到平面
的距離
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè)
是
的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若時(shí),函數(shù)
在
處的切線經(jīng)過點(diǎn)
,求
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有零點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以
為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線的普通方程與曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)為曲線
上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)
到
上點(diǎn)的距離的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率
,且直線
與橢圓
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與
軸交于點(diǎn)
,過點(diǎn)
的直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
,若
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
:
的左右焦點(diǎn)分別為
,
,橢圓右頂點(diǎn)為
,點(diǎn)
在圓
:
上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)在橢圓
上,且位于第四象限,點(diǎn)
在圓
上,且位于第一象限,已知
,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和動(dòng)直線
.直線
交拋物線
于
兩點(diǎn),拋物線
在
處的切線的交點(diǎn)為
.
(1)當(dāng)時(shí),求以
為直徑的圓的方程;
(2)求面積的最小值.
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