已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,其中a為實數(shù).
(1)當a=-1時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,e]上是增函數(shù),求a的取值范圍(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(3)當a=-1時,試推斷方程|f(x)|=數(shù)學公式是否有實數(shù)解.

解:(1)當a=-1時,f′(x)=(-x+lnx)′=-1+
令f′(x)=-1+=0,解得x=1,
當0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當x>1時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)有極大值f(1)=-1
(2)求導可得f′(x)=a+,由x∈(0,e],得
由于f(x)在區(qū)間(0,e]上是增函數(shù),所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+≥0在(0,e]上恒成立,所以a在(0,e]上恒成立,
,知,即
所以當a時,a恒成立,
故所求a的取值范圍為:a
(3)由(1)中的結(jié)論f(x)由唯一極值-1知,函數(shù)f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=,則g′(x)=
當0<x<e時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x>e時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值為g(e)=,
從而g(x),又,所以方程|f(x)|=無實數(shù)解.
分析:(1)把a=1代入已知,由極值的定義易得答案;
(2)f(x)在區(qū)間(0,e]上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為其導數(shù)f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,只需分離a,化為函數(shù)的最值即可;
(3)由(1)知|f(x)|≥1,令g(x)=,可求得其最大值,檢驗是否適合|f(x)|≥1,可得結(jié)論.
點評:本題為導數(shù)的綜合應用,涉及極值最值以及恒成立問題,屬中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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