解:(1)當a=-1時,f′(x)=(-x+lnx)′=-1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/474.png)
,
令f′(x)=-1+
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=0,解得x=1,
當0<x<1時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當x>1時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)有極大值f(1)=-1
(2)求導可得f′(x)=a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/474.png)
,由x∈(0,e],得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284014.png)
,
由于f(x)在區(qū)間(0,e]上是增函數(shù),所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/474.png)
≥0在(0,e]上恒成立,所以a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284015.png)
在(0,e]上恒成立,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284014.png)
,知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284016.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284017.png)
所以當a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/147605.png)
時,a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284015.png)
恒成立,
故所求a的取值范圍為:a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/147605.png)
(3)由(1)中的結(jié)論f(x)由唯一極值-1知,函數(shù)f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/180666.png)
,則g′(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6472.png)
當0<x<e時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當x>e時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值為g(e)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73635.png)
,
從而g(x)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284018.png)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284019.png)
,所以方程|f(x)|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/284020.png)
無實數(shù)解.
分析:(1)把a=1代入已知,由極值的定義易得答案;
(2)f(x)在區(qū)間(0,e]上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為其導數(shù)f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,只需分離a,化為函數(shù)的最值即可;
(3)由(1)知|f(x)|≥1,令g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/180666.png)
,可求得其最大值,檢驗是否適合|f(x)|≥1,可得結(jié)論.
點評:本題為導數(shù)的綜合應用,涉及極值最值以及恒成立問題,屬中檔題.