Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q（q≠0），且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）證明：

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的求和公式及等比數(shù)列的通項公式表示已知條件，然后解方程可求等比數(shù)列的公比q，等差數(shù)列的公差d，即可求解；
（2）利用裂項法求和，即可得到結(jié)論．

解答： （1）解：設{a_n}的公差為d，
∵b₂+S₂=12，q=

S2

b2

∴q+6+d=12，q=

6+d

q

解得q=3或q=-4（舍），d=3
故a_n=3n，b_n=3^n-1；
（2）證明：S_n=

n(3+3n)

2

，∴

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

•(1-

1

n+1

)
∵

1

2

≤1-

1

n+1

＜1
∴

1

3

≤

2

3

•(1-

1

n+1

)＜

2

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項，考查裂項法求數(shù)列的和，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，屬于中檔題．