Question

【題目】(導學號：05856332)

已知三棱柱ABC－A1B1C1如圖所示，其中CA⊥平面ABB1A1，四邊形ABB1A1為菱形，∠AA1B1＝60°，E為BB1的中點，F為CB1的中點．

(Ⅰ)證明：平面AEF⊥平面CAA1C1；

(Ⅱ)若CA＝2，AA1＝4，求B1到平面AEF的距離．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABB1A1為菱形，∠AA1B1=60°=∠ABB1，利用等邊三角形的性質可得AE⊥BB1，AE⊥AA1．利用線面垂直的性質可得：AE⊥AC，于是AE⊥平面CAA1C1，平面AEF⊥平面CAA1C1．

（2）利用等積法建立所求量的方程，解之即可.

試題解析：

(Ⅰ)∵四邊形ABB1A1是菱形，∠AA1B1＝60°＝∠ABB1，

∴△ABB1是正三角形，又BE＝B1E，∴AE⊥BB1，又AA1∥BB1，則AE⊥AA1，

∵CA⊥平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，∴CA⊥AE；

又AA1∩CA＝A，∴AE⊥平面CAA1C1，

而AE平面AEF，

∴平面AEF⊥平面CAA1C1.

(Ⅱ)因為E為BB1的中點，F為CB1的中點，所以三角形AEB1的面積S△AEB1＝S△ABB1＝××4×4sin 60°＝2，點F到平面AEB1的距離h＝AC＝1，所以三棱錐A－EFB1的體積VA－EFB1＝VF－EAB1＝×2×1＝.又AE＝4×＝2，AF＝B1C＝，EF＝BC＝，

∴△AEF的面積S△AEF＝×2×＝，設B1到平面AEF的距離為h1，則×h1＝，∴h1＝.∴B1到平面AEF的距離為.