Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2當x∈R時，f（x）≥2x恒成立．
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）當函數(shù)f（x）的定義域為[t，t+1]（t＜0）時，求函數(shù)f（x）的最小值g（t）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）x²+xlga+lgb≥0對于任意x∈R恒成立，利用判別式及f（-1）=-2，即可求得a，b的值．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，分當t+1≤-2時、當 t＜-2＜t+1時、當-2≤t＜0時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：由題意可得f（-1）=-2，即 1-lga-2+lgb=-2，
∴l(xiāng)gb=lga-1．
∵對于任意x∈R，f（x）≥2x 成立，
∴x²+xlga+lgb≥0對于任意x∈R恒成立，
∴x²+xlga+lga-1≥0對于任意x∈R恒成立，
∴△=（lga）²-4（lga-1）=（lga-2）²≤0，
∴l(xiāng)ga=2，
∴a=100．
∵lgb=lga-1，
∴l(xiāng)gb=1，∴b=10．
（2）由（1）可得 函數(shù)f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，當t+1≤-2時，即t≤-3 時，
函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，
f（x）_min=f（t+1）=t²+6t+6，
當 t＜-2＜t+1時，即-3＜t＜-2時，
（x）_min=f（-2）=-3．
當-2≤t＜0時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，
f（x）_min=f（t）=t²+4t+1．

點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．