Question

已知函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在x=0，x=4處取得極值．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3kx²+6（k-1）x，由于在x=0，x=4處取得極值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得…（2分）
（2）由（1）可知，f'（x）=x²-4x=x（x-4），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x＜0或x＞4，f（x）為增函數(shù)，0≤x≤4，f（x）為減函數(shù)； …（4分）
∴極大值為，極小值為…（5分）
（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：…（6分）
∴，
∴…（8分）
分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)已知，令f′（x）=3kx²+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可，把函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的x值代到f（x）中，通過表格，判斷極大、極小值即可．
（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（-1）和g（2）其中較小的即為g（x）的最小值，列出不等關(guān)系即可求得c的取值范圍．
點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．以及會(huì)求一元二次不等式的解集．做題時(shí)學(xué)生應(yīng)掌握轉(zhuǎn)化的方法變形．