Question

已知f(x)=

3

sinx-cosx，?x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的取值范圍是：

 

．

Answer 1

分析：先利用輔助角公式對已知函數化簡，然后對已知函數求導，由導數的幾何意義可知=求，函數在一點處的切線的斜率k=

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的范圍，而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

為曲線上任意兩點的連線的割線的斜率，可求

解答：解：∵f(x)=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

）
∴f‘(x)=2cos(x-

π

6

)
由導數的幾何意義可知，函數在一點處的切線的斜率k=

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=2cos（x-

π

6

）
∴k_max=2，k_min=-2
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

為曲線上任意兩點的連線的割線的斜率
∴-2＜

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2
故答案為：（-2，2）

點評：本題主要考查了輔助角公式在三角函數的化簡中的應用，導數的幾何意義的應用是求解本題的關鍵