Question

（本小題滿分16分）
已知等差數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）.（2）.
（3）不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）

(1)由于為等差數(shù)列,并且,易求出的通項公式,(2)在(1)的基礎上可得,則,再采用裂項求和的方示求和.
(3)先假設，，成等比數(shù)列,則,即,因為,所以下面討論按m=2,3,4,5,6,和幾種情況進行討論求解.
數(shù)學II（附加題）
（1）設數(shù)列的公差為，由，.
解得，，∴.（4分）
（2）∵，，∴
∴
∴.（8分）
（3）由（2）知，，∴，，，
∵，，成等比數(shù)列，∴，即
當時，，，符合題意；
當時，，無正整數(shù)解；
當時，，無正整數(shù)解；
當時，，無正整數(shù)解；
當時，，無正整數(shù)解；
當時，，則，而，
所以，此時不存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)，且，使得，，成等比數(shù)列.（16分）