有三個新興城鎮(zhèn),分別位于A、B、C三點處,且AB=AC=a,BC=2b.今計劃合建一個中心醫(yī)院,為同時方便三鎮(zhèn),準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點處.(建立坐標(biāo)系如下圖)

(1)若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小,點P應(yīng)位于何處?

(2)若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小,點P應(yīng)位于何處?

思路分析:本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

(1)解:由題設(shè)可知,a>b>0,記h=,設(shè)P的坐標(biāo)為(0,y),則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y-)2+h2+2b2.

    ∴當(dāng)y=時,函數(shù)f(y)取得最小值.

    ∴點P的坐標(biāo)是(0,).

(2)解法一:P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

g(y)=

    由≥|h-y|解得y≥,記y*=,于是

    g(y)=

    當(dāng)y*=≥0,即h≥b時,在[y*,+∞)上是增函數(shù),而|h-y|在(-∞,y*)上是減函數(shù),由此可知,當(dāng)y=y*時,函數(shù)g(y)取得最小值;

    當(dāng)y*=<0,即h<b時,函數(shù)在[y*,+∞)上,當(dāng)y=0時,取得最小值b,而|h-y|在(-∞,y*)上為減函數(shù),且|h-y|>b.可見,當(dāng)y=0時,函數(shù)g(y)取得最小值.

    ∴當(dāng)h≥b時,點P的坐標(biāo)為(0,);

    當(dāng)h<b時,點P的坐標(biāo)為(0,0).其中h=.

    解法二:P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

    g(y)=

    由≥|h-y|解得y≥,記y*=,?于是

    g(y)=

    當(dāng)y*≥0,即h≥b時,z=g(y)的圖象如圖(a),因此,當(dāng)y=y*時,函數(shù)g(y)取得最小值.

    當(dāng)y*<0,即h<b時,z=g(y)的圖象如圖(b),因此,當(dāng)y=0時,函數(shù)g(y)取得最小值.

    ∴當(dāng)h≥b時,點P的坐標(biāo)為(0,);?

    當(dāng)h<b時,點P的坐標(biāo)為(0,0).

    其中h=.

    解法三:∵在△ABC中,AB=AC=a,

    ∴△ABC的外心M在射線AO上,其坐標(biāo)為(0,),且AM=BM=CM.

    當(dāng)P在射線MA上,記P為P1;

    當(dāng)P在射線MA的反向延長線上,記P為P2.

    若h=≥b〔如圖(c)〕,則點M在線段AO上.

    這時P到A、B、C三點的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,

    ∴點P與外心M重合時,P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.

    若h=<b〔如圖(d)〕,則點M在線段AO外.

    這時P到A、B、C三點的最遠(yuǎn)距離為P1C或P2A,且P1C≥OC,P2A≥OC,∴點P與BC邊的中點O重合時,P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.

    ∴當(dāng)≥b時,點P的位置在△ABC的外心(0,);

    當(dāng)<b時,點P的位置在原點O.

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(Ⅰ)若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小,點P應(yīng)位于何處?
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(Ⅱ)若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小,點P應(yīng)位于何處?
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