Question

（本小題滿分13分）函數(shù)（為常數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）討論關(guān)于的方程（為常數(shù)）的正根的個(gè)數(shù).

Answer 1

（1）；（2）；（3）3個(gè).

【解析】

試題分析：（1）依題意直接代入得；（2）將代入得，要使其在區(qū)間上有意義，只需滿足對(duì)恒成立，得，令，先確定在上的單調(diào)性（可利用求導(dǎo)，也可利用定義），再求在上的最小值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求方程（為常數(shù)）的正根的個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中的圖像和的大小有關(guān)，所以要分，，三種情況討論，詳見(jiàn)解析.

試題解析：（1）依題意有． 3分

（2）由（1）得，則在區(qū)間上有意義，即對(duì)恒成立，得，令，先證其單調(diào)遞增：

法1∵ 在上恒成立，故在遞增，

法2： 任取，則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060906061140752106/SYS201506090606206561601367_DA/SYS201506090606206561601367_DA.028.png">，則，故在遞增，則，得． 8分

（3）結(jié)合圖象有：

①當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為0；

如圖一

②當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為1；

如圖二

③當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為2；

如圖三 13分

考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題；（3）函數(shù)圖像.