Question

已知x，y滿足約束條件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，試求解下列問題．
（1）z=

x2+y2

的最大值和最小值；
（2）z=

y

x+2

的最大值和最小值；
（3）z=|3x+4y+3|的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
（1）z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
（2）z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)M（-2，0）的斜率．
（3）設(shè)m=3x+4y+3，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定m的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由

x-4y=-3 3x+5y=25

，解得

x=5 y=2

，即A（5，2），
由

x=1 3x+5y=25

，解得

x=1 y= 22 5

，即B（1，

22

5

）
由

x=1 x-4y=-3

，解得

x=1 y=1

，即C（1，1）
（1）z=

x2+y2

的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
由圖象可知OC的距離最小，OA的距離最大，
即最大值為z=

52+22

=

29

，最小值為z=

12+12

=

2

．
（2）z=

y

x+2

的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)M（-2，0）的斜率，
由圖象知MB的斜率最大，MA的斜率最小，
即z的最大值為z=

22 5

1+2

=

22

15

，最小值為z=

2

5+2

=

2

7

．
（3）設(shè)m=3x+4y+3得y=-

3

4

x+

m-3

4

，此時(shí)z=|m|，
平移直線y=-

3

4

x+

m-3

4

，
由圖象可知當(dāng)直線y=-

3

4

x+

m-3

4

經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

3

4

x+

m-3

4

的截距最大，此時(shí)m最大．
當(dāng)直線y=-

3

4

x+

m-3

4

經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=-

3

4

x+

m-3

4

的截距最小，此時(shí)m最�。�
代入目標(biāo)函數(shù)m=3x+4y+3=3+4+3=10，
代入目標(biāo)函數(shù)m=3x+4y+3=15+8+3=26，
即10≤m≤26，
則10≤|m|≤26，即10≤z≤26，
則z=|3x+4y+3|的最大值為26，最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，綜合考查目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用距離，斜率和截距的幾何意義是解決線性規(guī)劃的基本方法．