Question

以下命題正確的是

③④

（填序號）
①若||x-1|-|x+1||＜0對任意實數x均成立，則a的范圍是a≥2；
②若y=lg（ax²+ax+1）的值域為R，則0≤a≤4；
③若f（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

）+2在（-∞，0）有最小值-5（a，b為常數），則f（x）在（0，+∞）的最大值為9；
④若y=-f（x）的圖象經過第三、四象限，那么y=f^-1（x）的圖象經過第一、四象限．

Answer 1

分析：由絕對值的意義可得①不正確．根據ax²+ax+1＞0恒成立，可得 0≤a＜4，故②不正確．
根據奇函數的性質可得③正確．根據y=-f（x）的圖象和y=f（x）的圖象關于x軸對稱，y=f（x）的圖象和y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，可得④正確．

解答：解：由于||x-1|-|x+1||＜0 不可能成立，故①不正確．
若y=lg（ax²+ax+1）的值域為R，則ax²+ax+1的最小值小于或等于零，
當a=0時，ax²+ax+1=1，不滿足y=lg（ax²+ax+1）的值域為R，故②不正確．
令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），則g（x）是奇函數．
由于f（x）=g（x）+2 在（-∞，0）有最小值-5，故g（x）在（-∞，0）有最小值-7，
設x＞0，則-x＜0，∴g（-x）≥-7，∴-g（x）≥-7，∴g（x）≤7，
即g（x）在（0，+∞）上有最大值7，g（x）+2≥9．
故f（x）=g（x）+2 在（0，+∞）上有最大值為9，故③正確．
若y=-f（x）的圖象經過第三、四象限，y=-f（x）的圖象和y=f（x）的圖象關于x軸對稱，
故y=f（x）的圖象經過第一、二象限．
而y=f（x）的圖象和y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，故y=f^-1（x）的圖象經過第一、四象限，故④正確．
故答案為 ③④．

點評：本題主要考查絕對值的意義，命題的真假的判斷和應用，函數與反函數圖象間的關系，屬于中檔題．