數(shù)列的前項和為，且

（1）寫出與的遞推關(guān)系式，并求,,的值；

（2）猜想關(guān)于的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

 

【答案】

（1）

（2）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

【解析】

試題分析：（1）由得：，

即， .

可得

（2）由（1）可猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i) 當時，,猜想成立．

(ii)假設(shè)當時，成立，

則當時，

故當時，，猜想成立.

由（i）(ii)可得，對一切正整數(shù)都成立. 關(guān)于的表達式為.

考點：本題主要考查歸納推理及數(shù)學(xué)歸納法。

點評：中檔題，在高考命題中，單獨考查數(shù)學(xué)歸納法已不多見，但”歸納、猜想、證明”的思想方法，確實是一種重要的方法，因此，應(yīng)注意熟練掌握。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇阜寧中學(xué)高三上學(xué)期第三次調(diào)研測試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.

⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項公式；

⑵若對恒成立，求的最小值；

⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年廣東省中山市一中高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知，數(shù)列的前項和為，點在曲線上，且，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求數(shù)列的通項公式；

（3）求證：，.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河南鄭州盛同學(xué)校高三4月模擬考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）在數(shù)列的每兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列，在兩項之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；

（3）對于（2）中的數(shù)列，若，并求（用表示）．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣東省中山市高二上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

記數(shù)列的前項和為，且，則    ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河北省下學(xué)期高一第1次考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知，點在函數(shù)的圖象上，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，求證：為等差數(shù)列；

（3）求的值，使得數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項公式.

 

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