Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f'（x）．
（1）當時，若不等式對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當時，，…（1分）
依題意　即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得　0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）…（4分）
（2）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，f'（x）=3ax²-a．
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x³-x．…（6分）
∴f（x）在，上是單調遞增函數，在上是單調遞減函數，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）
法一：如圖所示，作y=f（x）與的圖象，若只有一個交點，則
①當時，，即，解得；
②當時，，解得；③當t=0時，不成立；
④當時，，即，解得；
⑤當時，，解得；
⑥當t＞1時，.…（13分）
綜上t的取值范圍是或或．…（14分）
法二：作y=f（x）與的圖知交點橫坐標為，x=0
當時，過圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當x取其它任何值時都有兩個或沒有交點．
所以當時，方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根．

分析：（1）求導函數，將不等式對任意x∈R恒成立，轉化為x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（2）先確定函數的解析式，確定f（x）的單調性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；
法一：作y=f（x）與的圖象，若只有一個交點，結合圖象分類討論；
法二：作y=f（x）與的圖知交點橫坐標為，x=0，當時，過圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當x取其它任何值時都有兩個或沒有交點，由此可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查數形結合的數學思想，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．