Question

已知各項均為正數的等差數列{a_n}滿足：a_na_n+1=4n²-1（n∈N^*），各項均為正數的等比數列{b_n}滿足：b₁+b₂=3，b₃=4．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足：c_n=

an

bn

，其前n項和為S_n，證明1≤S_n＜6．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列、等比數列的通項公式，即可求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減求解數列的和，可得1≤S_n＜6．

解答： 解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有a₁＞0，b₁＞0，d＞0，q＞0

a1a2=a1(a1+d)=3 a2a3=(a1+d)(a1+2d)=15 b1+b2=b1+b1q=3 b3=b1q2=4

解得a₁=1，b₁=1，d=2，q=2．…（4分）
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1．…（6分）
（2）cn=

an

bn

=

2n-1

2n-1

．…（7分）
設S_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

2S_n=2+3+

5

2

+…+

2n-1

2n-2

，
兩式相減得S_n=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

＜6…（11分）
又因為Sn-Sn-1=cn=

2n-1

2n-1

＞0，所以S_n＞S_n-1，所以S_n≥S₁=1…（13分）
綜上  1≤S_n＜6得證．…（14分）

點評：本題考查等差數列、等比數列的通項公式，考查錯位相減求解數列的和，這是數列求和方法的難點所在．