Question

已知點(diǎn)P是圓F₁：（x+

3

）²+y²=4上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F₂與點(diǎn)F₁關(guān)于原點(diǎn)對稱．線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡C的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定F₁、F₂的坐標(biāo)，再根據(jù)線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線，從而可得點(diǎn)M的軌跡C的方程．

解答： 解：由題意得，F1(-

3

，0)，則F2(

3

，0)，
圓F₁的半徑|PF₁|=2，且|MF₂|=|MP|，
當(dāng)|MF₁|＞|MF₂|時，|MF₁|-|MF₂|=|MF₁|-|MP|=|PF₁|=2＜2

3

=|F₁F₂|；
當(dāng)|MF₁|＜|MF₂|時，|MF₂|-|MF₁|=|MP|-|MF₁|=|PF₁|=2＜2

3

=|F₁F₂|．
∴點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線，其中實軸2a=2，焦距2c=2

3

，
則虛半軸b=

c2-a2

=

2

，
雙曲線方程為：x2-

y2

2

=1．
故答案為：x2-

y2

2

=1．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線方程的求法，是中檔題．