設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

(Ⅰ)確定λ的取值范圍,并求直線AB的方程;

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.

答案:
解析:

  (Ⅰ)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為整理,

  得�、�

  設(shè)①的兩個(gè)不同的根,

  �、�

  是線段AB的中點(diǎn),

  得

  解得=-1,代入②得,>12,即的取值范圍是(12,+).

  于是,直線AB的方程為

  解法2:設(shè)

  

  依題意,

  

  (Ⅱ)解法1:代入橢圓方程,

  整理得 ③

  ③的兩根,

  

  于是由弦長公式可得�、�

  將直線AB的方程�、�

  同理可得�、�

  

  假設(shè)在在>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 ⑦

  于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

  

  故當(dāng)時(shí),A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心,為半徑的圓上.

  (注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:

  A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角

  �、�

  由⑥式知,⑧式左邊=

  由④和⑦知,⑧式右邊=

  

  ∴⑧式成立,即A、B、C、D四點(diǎn)共圓

  解法2:由(Ⅱ)解法1及

  代入橢圓方程,

  整理得③解得

  將直線AB的方程代入橢圓方程,整理得

  ⑤解得

  不妨設(shè)

  ∴

  

  計(jì)算可得,∴A在以CD為直徑的圓上.

  又點(diǎn)A與B關(guān)于CD對稱,∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

  (注:也可用勾股定理證明AC⊥AD)


練習(xí)冊系列答案
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設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
(1)確定λ的取值范圍,并求直線AB的方程;
(2)求以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程.

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