設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
(Ⅰ)確定λ的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.
(Ⅰ)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為 得 設(shè) 得 解得 于是,直線AB的方程為 解法2:設(shè) 依題意, (Ⅱ)解法1: 整理得 于是由弦長公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設(shè)在在 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故當(dāng) (注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得: A、B、C、D共圓 由⑥式知,⑧式左邊= 由④和⑦知,⑧式右邊= ∴⑧式成立,即A、B、C、D四點(diǎn)共圓 解法2:由(Ⅱ)解法1及 整理得 將直線AB的方程 不妨設(shè) ∴ 計(jì)算可得 又點(diǎn)A與B關(guān)于CD對稱,∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓. (注:也可用勾股定理證明AC⊥AD) |
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