【題目】已知橢圓的離心率為
,
分別為橢圓
的左,右焦點(diǎn),直線
過(guò)點(diǎn)
與橢圓
交于
兩點(diǎn),當(dāng)直線
的斜率為
時(shí),線段
的長(zhǎng)為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且與直線
垂直的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn),求四邊形
面積的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據(jù)離心率可求得之間關(guān)系;可知斜率為
時(shí),
與上頂點(diǎn)重合,設(shè)
,結(jié)合橢圓定義和
可構(gòu)造方程求得
,進(jìn)而得到
,從而求得
,得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)直線斜率不存在或斜率為
時(shí),易求得四邊形
面積為
;當(dāng)直線
斜率為
時(shí),假設(shè)直線
方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式可求得
;將
換作
可得到
,進(jìn)而得到四邊形面積
,利用基本不等式可求得最小值,與
對(duì)比后可得結(jié)果.
(1)由題意得:,
,
.
當(dāng)直線
斜率為
時(shí),
與上頂點(diǎn)重合,
,
,
設(shè),則
,
,即
,解得:
,
,解得:
,
,
橢圓
的方程為
.
(2)由(1)知:.
當(dāng)直線斜率不存在或斜率為
時(shí),四邊形
面積為
;
當(dāng)直線斜率為
時(shí),
設(shè)直線的方程為:
,
,
,
則直線的方程為:
,
將直線代入橢圓
的方程得:
,
,
,
將換作
可得:
.
四邊形
面積
(當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)取等號(hào)),
,
四邊形
面積最小值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面
是邊長(zhǎng)為
的正方形,
是正三角形,
為線段
的中點(diǎn),點(diǎn)
為底面
內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若時(shí),平面
平面
B.若時(shí),直線
與平面
所成的角的正弦值為
C.若直線和
異面時(shí),點(diǎn)
不可能為底面
的中心
D.若平面平面
,且點(diǎn)
為底面
的中心時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線,不與坐標(biāo)軸垂直的直線
與拋物線交于
兩點(diǎn),當(dāng)
且
時(shí),
.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)定點(diǎn)
,點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
,證明:直線
過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底,
是
的中點(diǎn)。
(1)證明:直線平面
;
(2)點(diǎn)在棱
上,且直線
與底面
所成角為
,求二面角
的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿(mǎn)分為100分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述不正確的是( )
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)
C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
,
,側(cè)面
為等邊三角形,側(cè)棱
.
(1)求證:平面平面
;
(2)求三棱錐外接球的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,
是PB的中點(diǎn),
是等邊三角形,平面
平面
.
(1)求證:平面
;
(2)求CP與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂(lè)活動(dòng)場(chǎng)所,現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示,已知:
米,
米,擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路
、
和
,要求點(diǎn)
是
的中點(diǎn),點(diǎn)
在邊
上,點(diǎn)
在邊
時(shí)上,且
.
(1)設(shè),試求
的周長(zhǎng)
關(guān)于
的函數(shù)解析式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為元,試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低?并求出最低總費(fèi)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若是
的唯一極值點(diǎn),求
的取值范圍.
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