Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）
（Ⅰ）對于函數(shù)y=f（x）中的任意實數(shù)x，在y=g（x）上總存在實數(shù)x₀，使得g（x₀）＜f（x）成立，求實數(shù)m的取值范圍
（Ⅱ）設函數(shù)h（x）=af（x）-g（x），當a在區(qū)間[1，2]內變化時，
（1）求函數(shù)y=h′（x）x∈[0，ln2]的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=h（x），x∈[0，3]有零點，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）首先要理解任意和存在在題目中的意思，將原命題轉化為[g（x）]_min＜[f（x）]_min，構造關于x不等式求解；
（Ⅱ）首先解決兩個變量a，x對函數(shù)的影響，一般依次看做a和x的函數(shù)，將二元函數(shù)轉化為一元函數(shù)問題；（1）看成a的一次函數(shù)，轉化為關于x的函數(shù)，然后再求相關函數(shù)值域；
（2）根據(jù)根的存在性定理知 h（x）在[0，3]上的最大值與最小值要異號，從而找到m關于a的關系，得到m的最值．

解答： 解（Ⅰ）原命題可化為[g（x）]_min＜[f（x）]_min，
令f'（x）=e^x-2=0，得x=ln2．
當x＞ln2時，f'（x）＞0；當x＜ln2時，f'（x）＜0，
故當x=ln2時，y=f（x）取得極（最）小值，其最小值為2-2ln2；
而函數(shù)y=g（x）的最小值為m，故當m＜2-2ln2時，結論成立
（Ⅱ）（1）∵由h（x）=a（e^x-2x）-x²-m，
∴可得h'（x）=a（e^x-2）-2x，將h'（x）看作關于a的一次函數(shù)：
當x∈[0，ln2]時，e^x-2＜0，因為a∈[1，2]，故2（e^x-2）-2x≤h'（x）≤（e^x-2）-2x，
令M（x）=2（e^x-2）-2x，x∈[0，ln2]，
則M'（x）=2e^x-2＞0，M（x）在x∈[0，ln2]為增函數(shù)，
故h'（x）在x∈[0，ln2]最小值為M（0）=-2，
又令N（x）=（e^x-2）-2x，同樣可求得N（x）在x∈[0，ln2]的最大值N（0）=-1，
故函數(shù)y=h'（x）在x∈[0，ln2]的值域為[-2，-1]
（Ⅱ）（2）由（1）可知x∈[0，ln2]時，y=h'（x）＜0，
故?a∈[1，2]，h（x）在x∈[0，ln2]均為單調遞減函數(shù)，
故函數(shù)h（x）_max=h（0）=a-m；
當x∈[ln2，3]時，
∵e^x-2＞0，a∈[1，2]，
∴h'（x）的值在區(qū)間[（e^x-2）-2x，2（e^x-2）-2x]上變化，
此時，對于函數(shù) M（x）=2（e^x-2）-2x，存在x₀∈[ln2，3]，M（x）在x∈[ln2，x₀]單調遞減，在x∈[x₀，3]單調遞增，
∴h（x）在x∈[ln2，3]的最大值為h（3）=a（e³-6）-9-m，
∵a∈[1，2]，h（3）-h（0）=a（e³-7）-9＞0，
∴h（3）＞h（0），
因此h（x）的最大值是h（3）=a（e³-6）-9-m，
故當函數(shù)y=h（x）有零點時，a（e³-6）-9-m≥0
∵a∈[1，2]，m≤2（e³-6）-9，
∴實數(shù)m的最大值是m=2（e³-6）-9=2e³-21．

點評：本題考查了函數(shù)與方程的關系，以及利用導數(shù)討論函數(shù)的最值．本題的難點是二元函數(shù)的轉化問題，在二元函數(shù)轉化時要先固定一個變量．求解本題要熟練掌握導數(shù)求最值得方法．