Question

已知拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P(m，4)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5，
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)G的方程；
( Ⅱ)如圖，過(guò)拋物線(xiàn)G的焦點(diǎn)的直線(xiàn)依次與拋物線(xiàn)G及圓x²+(y-1)²=1交于A，C，D，B四點(diǎn)，試證明|AC|·
|BD|為定值；
(Ⅲ)過(guò)A，B分別作拋物線(xiàn)G的切線(xiàn)l₁，l₂，且l₁，l₂交于點(diǎn)M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y+l=0，=1，
所以?huà)佄锞�(xiàn)G的方程為x²=4y。
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)AB方程y=kx+1交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由拋物線(xiàn)定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+l， 
所以，|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由，得，
顯然△＞0，則，
所以，，所以|AC|·|BD|為定值1。
(Ⅲ)由得，
直線(xiàn)AM的方程為，①
直線(xiàn)BM的方程為，②
由②-①，得，
所以，∴y=-1，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，-1），
點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離，
弦AB長(zhǎng)為，
△ACM與△BDM面積之和
，
當(dāng)k=0時(shí)，AB方程為y=1時(shí)，△ACM與△BDM面積之和最小值為2。