Question

若F₁、F₂分別為雙曲線 －＝1下、上焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線的下支上，點(diǎn)M在上準(zhǔn)線上，且滿足：，

（1）求此雙曲線的離心率；

（2）若此雙曲線過(guò)N(，2)，求此雙曲線的方程

（3）若過(guò)N(，2)的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別B₁，B₂(B₂在x軸正半軸上)，點(diǎn)A、B在雙曲線上，且，求時(shí)，直線AB的方程．

Answer 1

(1) e=2;(2) 雙曲線的方程為－＝1;(3) AB的方程為y=±(x－3) .

解析:

(1) ，∴PF₁OM為平行四邊形，

又知M在∠PF₁O的角平分線上，

∴四邊形PF₁OM為菱形，且邊長(zhǎng)為＝c

∴＝2a+＝2a+c，由第二定義＝e即＝e，∴+1＝e且e>1

∴e=2

 (2)由e=2，∴c=2a即b²=3a²，雙曲線方程為 －＝1

又N(，2)在雙曲線上，∴－＝1，∴a²＝3∴雙曲線的方程為－＝1;

(3)由知AB過(guò)點(diǎn)B₂，若AB⊥x軸，即AB的方程為x=3，此時(shí)AB₁與BB₁不垂直；設(shè)AB的方程為y=k(x－3)代入－＝1得

(3k²－1)x²－18k²x+27k²－9=0

由題知3k²－1≠0且△>0即k²> 且k²≠，

設(shè)交點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，＝(x₁+3，y₁)，＝(x₂+3，y₂)，

∵，∴＝0即x₁x₂+3(x₁+x₂)+9+y₁y₂＝0

此時(shí)x₁+x₂＝，x₁·x₂=9，

y₁y₂＝k²(x₁－3) (x₂－3)＝k²[x₁x₂－3(x₁+x₂)+9]= k²[18－]＝－

∴9＋3＋9－＝0，∴5 k²＝1，∴k＝±

∴AB的方程為y=±(x－3) .