Question

已知函數，.

(Ⅰ)若，求函數在區(qū)間上的最值；

(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍.

注：是自然對數的底數

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入函數解析式，并將函數解析式中的絕對值去掉，寫成分段函數，并將定義域分為兩部分：與，利用導數分別求出函數在區(qū)間與上的最大值與最小值，然后進行比較，最終確定函數在區(qū)間上的最大值與最小值；（Ⅱ）利用參數分離法將不等式進行轉化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求參數的取值范圍，不過在去絕對值符號的時候要對自變量的范圍進行取舍（主要是自變量的范圍決定的符號）.

試題解析：(Ⅰ) 若，則.

當時，，

，

所以函數在上單調遞增；

當時，，

.

所以函數在區(qū)間上單調遞減，

所以在區(qū)間上有最小值，又因為，

，而，

所以在區(qū)間上有最大值.

(Ⅱ) 函數的定義域為．

  由，得．            （*）

（ⅰ）當時，，，

不等式（*）恒成立，所以；

（ⅱ）當時，

①當時，由得，即，

現令， 則，

因為，所以，故在上單調遞增，

從而的最小值為，因為恒成立等價于，

所以；

②當時，的最小值為，而，顯然不滿足題意.

綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.

考點：利用導數求函數的最值、分段函數、參數分離法