Question

（1）設一次函數(shù)f（x）滿足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，值域為[a，b]（a＜b），則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“方正”函數(shù)．
①設g(x)=

1

2

x2-x+

3

2

是[a，b]上的“方正”函數(shù)，求常數(shù)a，b的值．
②問是否存在常數(shù)a，b（a＞-2），使函數(shù)h(x)=

1

x+2

是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接設出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件列出方程求出解析式即可得到結論．
（2））①先由g(x)=

1

2

(x-1)2+1≥1知g（x）在[a，b]上單調增函數(shù)且a≥1，再結合“方正”函數(shù)的定義得到g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的兩個根；解方程即可求出常數(shù)a，b的值．
②根據(jù)a＞-2，得到h(x)=

1

x+2

在區(qū)間[a，b]上是單調減函數(shù)，值域為[h（b），h（a）]=[a，b]，解對應的方程組求出a=b與a＜b矛盾即可得到結論．

解答：解：（1）設f（x）=mx+n（m≠0），又f（3）=2，f（2）=3，
所以3m+n=2，2m+n=3⇒m=-1，n=5
即f（x）=-x+5⇒f（5）=0；…（4分）
（2）①由g(x)=

1

2

(x-1)2+1≥1知g（x）在[a，b]上單調增函數(shù)且a≥1，
所以值域為[g（a），g（b）]，
由已知g(x)=

1

2

x2-x+

3

2

是[1，b]上的“方正”函數(shù)，所以[g（a），g（b）]=[a，b]
則g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的兩個根（1≤a＜b）
解方程

1

2

x2-x+

3

2

=x得x=1或x=3，所以a=1，b=3…（9分）
②假設存在常數(shù)a，b，使函數(shù)h(x)=

1

x+2

是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)．
因a＞-2，顯然h(x)=

1

x+2

在區(qū)間[a，b]上是單調減函數(shù)，值域為[h（b），h（a）]=[a，b]，
即

h(a)=b h(b)=a

⇒

1 a+2 =b 1 b+2 =a

⇒

(a+2)b=1 (b+2)a=1

⇒(a+2)b=(b+2)a⇒a=b與a＜b矛盾，
故不存在常數(shù)a，b，使函數(shù)h(x)=

1

x+2

是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)．…（14分）

點評：本題主要是在新定義下對函數(shù)單調性應用的考查，考查計算能力以及分析問題的能力．