Question

已知y=f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減函數(shù)，則f（1-x²）是增函數(shù)的區(qū)間是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、[-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1]∪（0，1]

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題

分析：y=f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減函數(shù)，∴在（-∞，0]是增函數(shù)，
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：y=f（t），t=u（x），當(dāng)f（t）與u（x）都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)時(shí)，
y=f（u（x））才是增函數(shù)．

解答： 解：∵y=f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴在（-∞，0]是增函數(shù)，
令t=1-x²    ，要使f（t）是增函數(shù)，應(yīng)有t≤0 時(shí)t是增函數(shù)，或者t≥0時(shí)，t是減函數(shù)．
∵t≤0時(shí)，有 x≥1 或x≤-1，
t=1-x²    在（-∞，-1]上是增函數(shù)，f（1-x²）是增函數(shù)，
t≥0時(shí)，1≥x≥-1，
t=1-x²  在（0，1]上是減函數(shù)，f（1-x²）是增函數(shù)，
則f（1-x²）是增函數(shù)的區(qū)間是 （-∞，-1]∪（0，1]，
故選  D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，對(duì)復(fù)合函數(shù)，只有內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)時(shí)，它才是增函數(shù)．