Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過分類討論，去掉絕對值函數中的絕對值符號，轉化為分段函數，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（2）通過分類討論，去掉絕對值函數中的絕對值符號，轉化為分段函數，根據一次函數的單調性可得函數在R上先減后增，
得到函數的最小值為f（1）+|1-1|=f（1）=a-1，而不等式f（x）+|x-1|≥1解集為R即a-1≥1恒成立，解之即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=|x-1|+|x-2|=

-2x+3，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
由于f（x）≥2，
則①當x＜1時，-2x+3≥2，∴x≤

1

2

；
②當1≤x≤1時，1≥2，無解；
③當x＞2時，2x-3≥2，∴x≥

5

2

．
綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為：（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）；
（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，則F(x)=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
所以當x=1時，F（x）有最小值F（1）=a-1，
只需a-1≥1，解得a≥2，所以實數a的取值范圍為[2，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法和不等式的恒成立問題，考查學生的分類討論思想和轉化能力．第一問，利用零點分段法進行求解；第二問，利用函數的單調性求出最小值證明恒成立問題．