Question

輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅(jiān)硬的場(chǎng)地上滑行的運(yùn)動(dòng)．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運(yùn)動(dòng)員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1 m的平臺(tái)上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi))，D為這段拋物線的最高點(diǎn)．現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點(diǎn)A(0,4)，另一端點(diǎn)C(3,1)，點(diǎn)B(2,0)，單位：m.

(1)求助跑道所在的拋物線方程；

(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點(diǎn)C處有相同的切線，為使運(yùn)動(dòng)員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運(yùn)動(dòng)員的飛行距離在4 m到6 m之間(包括4 m和6 m)，試求運(yùn)動(dòng)員飛行過程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍．

(注：飛行距離指點(diǎn)C與點(diǎn)E的水平距離，即這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值)

Answer 1

 (1)設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f(x)＝a₀x²＋b₀x＋c₀，

依題意,

解得 a₀＝1，b₀＝－4，c₀＝4，

所以助跑道所在的拋物線方程為f(x)＝x²－4x＋4，x∈[0,3]．

(2)設(shè)飛行軌跡所在拋物線為g(x)＝ax²＋bx＋c(a<0)，

依題意，

即，解得

所以g(x)＝ax²＋(2－6a)x＋9a－5

＝a²＋1－.

令g(x)＝1，得²＝.

因?yàn)閍<0，所以x＝－＝3－.

當(dāng)x＝時(shí)，g(x)有最大值，為 1－，

則運(yùn)動(dòng)員的飛行距離

d＝3－－3＝－，

飛行過程中距離平臺(tái)最大高度

h＝1－－1＝－，

依題意，4≤－≤6，即2≤－≤3，

即飛行過程中距離平臺(tái)最大高度的取值范圍為在2 m到3 m之間．