Question

已知函數(shù)定義在上，對任意的，，且．

（1）求，并證明：；

（2）若單調(diào)，且．設(shè)向量，，對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）抽象函數(shù)求值可以采用賦值法；證明問題，可以采用構(gòu)造法；

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021606020982225677/SYS201502160602152130212407_DA/SYS201502160602152130212407_DA.002.png">單調(diào)，可先用特殊值法確定其增減性，從而將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，其中；然后令，通過換元法最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．

試題解析：解:（1）令得，又∵，， 2分

由得=，

∵，∴． 5分

（2）∵，且是單調(diào)函數(shù)，∴是增函數(shù)． 6分

而，∴由，得，

又∵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021606020982225677/SYS201502160602152130212407_DA/SYS201502160602152130212407_DA.024.png">是增函數(shù)，∴恒成立，．

即． 8分

令，得 （﹡）．

∵，∴，即．

令， 10分

①當(dāng)，即時(shí)，只需，（﹡）成立，

∴，解得； 11分

②當(dāng)，即時(shí)，只需，（﹡）成立，

∴，解得，∴． 12分

③當(dāng)，即時(shí)，只需，（﹡）成立，

∴， ∴，

綜上，．

考點(diǎn)：1、抽象函數(shù)；2、平面向量的數(shù)量積；3、換元法；4、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．