【題目】如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點(diǎn),Q為棱BB1上的點(diǎn),且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若λ=,求AP與AQ所成角的余弦值;
(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°,求實(shí)數(shù)λ的值.
【答案】(1).(2)λ=
.
【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量
的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.
(2)由BQ=λBB1,表示=(2,0,2λ) ,從而得到平面APQ的一個(gè)法向量
=(2λ,2-λ,-2),再根據(jù)直線AA1與平面APQ所成角為45°,由|cos〈
,
〉|=
=
=
求解.
(1)以為正交基底,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Axyz.
因?yàn)?/span>=(1,2,2),
=(2,0,1),
所以cos〈,
〉=
=
=
.
所以AP與AQ所成角的余弦值為.
(2) 由題意可知,=(0,0,2),
=(2,0,2λ).
設(shè)平面APQ的法向量為=(x,y,z),
則即
令z=-2,則x=2λ,y=2-λ.
所以=(2λ,2-λ,-2).
又因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成角為45°,
所以|cos〈,
〉|=
==
,
可得5λ2-4λ=0,
又因?yàn)?/span>λ≠0,所以λ=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是正方形,點(diǎn)
在以
為直徑的半圓弧上(
不與
,
重合),
為線段
的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)證明:平面
.
(2)若,當(dāng)三棱錐
的體積最大時(shí),求
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的零點(diǎn)
,以及曲線
在
處的切線方程;
(2)設(shè)方程(
)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
,
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分別是BC,A1C的中點(diǎn).
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)M在線段A1D上, .若CM∥平面AEF,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求不等式
的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列與
滿足
,
,
是數(shù)列
的前
項(xiàng)和(
).
(1)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為
的等比數(shù)列,且數(shù)列
也是等比數(shù)列,求
的值;
(2)設(shè),若
且
對
恒成立,求
的取值范圍;
(3)設(shè),
,
(
,
),若存在整數(shù)
,
,且
,使得
成立,求
的所有可能值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ�,前面擋有一塊玻璃,讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個(gè)空隙處,再以
的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個(gè)空隙處,再以
的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個(gè)空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng),8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎(jiǎng)金為元,其中
.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶70周年慶典磅礴而又歡快的場景,仍歷歷在目.已知慶典中某省的游行花車需要用到某類花卉,而該類花卉有甲、乙兩個(gè)品種,花車的設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)對這兩個(gè)品種進(jìn)行了檢測.現(xiàn)從兩個(gè)品種中各抽測了10株的高度,得到如下莖葉圖.下列描述正確的是( )
A.甲品種的平均高度大于乙品種的平均高度,且甲品種比乙品種長的整齊
B.甲品種的平均高度大于乙品種的平均高度,但乙品種比甲品種長的整齊
C.乙品種的平均高度大于甲品種的平均高度,且乙品種比甲品種長的整齊
D.乙品種的平均高度大于甲品種的平均高度,但甲品種比乙品種長的整齊
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