Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n與b_n；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設{a_n}的公差為d，由b₂+S₂=12，b₁=1，q=

S2

b2

，可求得q=3，d=3，從而可得a_n與b_n；
（2）由（1）知，a_n=3n，于是可得S_n=

3n(n+1)

2

，

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），通過列項相消法即可求得答案．

解答： 解：（1）設{a_n}的公差為d，
∵b₂+S₂=12，b₁=1，q=

S2

b2

，
∴

q+6+d=12 q2=6+d

，解得q=3或q=-4（舍），d=3．
故a_n=3n，b_n=3^n-1…（4分）
（2）S_n=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

3n(n+1)

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

3

（1-

1

n+1

）…（8分）
∵n≥1，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

，

1

2

≤1-

1

n+1

＜1，
∴

1

3

≤

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

，
即

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

 …（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與列項相消法求和的綜合應用，屬于中檔題．