Question

設函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明對任意的正整數(shù)n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，知f'（x）=ln（x+1）+1-a，由f（x）在x=0處取得極值，知f'（0）=0，由此能求出a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當n=1時，左邊=0，右邊=0，0≥0成立；當n=2時，左邊=2ln2=ln4，右邊=ln3，ln4≥ln3成立；當n≥3時，原不等式等價于

lnn

n-1

≥

ln(n+1)

n

，由此能夠證明對任意的正整數(shù)n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

解答：（1）解：∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
∴f'（x）=ln（x+1）+1-a，
∵f（x）在x=0處取得極值，
∴f'（0）=0，∴a=1，
故f'（x）=ln（x+1），
當x+1＞1，即x＞0時，f'（x）＞0，
當0＜x+1＜1，即-1＜x＜0時，f'（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
（2）證明：當n=1時，左邊=0，右邊=0，0≥0成立；
當n=2時，左邊=2ln2=ln4，右邊=ln3，ln4≥ln3成立；
當n≥3時，原不等式等價于

lnn

n-1

≥

ln(n+1)

n

，
令g（x）=

lnx

x-1

，（x≥3），
則g（x）=

x-1 x -lnx

(x-1)2

，
當x≥3時，

x-1

x

＜1，lnx＞1，
∴

x-1

x

-lnx＜0，
從而g（x）＜0，∴g（x）遞減，
所以，當n-1＞n≥3時，
有g（n-1）＜g（n），
即

ln(n+1)

n

＜

lnn

n-1

，
綜上所述：對任意的正整數(shù)n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．