Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AB⊥BC，點M，N分別是CC₁，B₁C的中點，G是棱AB上的動點．
（Ⅰ）求證：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若G點是AB的中點，求證：CG∥平面AB₁M₁；
（Ⅲ）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由直三棱柱的性質(zhì)結(jié)合AB⊥BC，得AB⊥平面B₁BCC₁，從而B₁C⊥GB，在等腰△BB₁C中，利用中線BN⊥B₁C，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到B₁C⊥平面BNG．
（Ⅱ）連接AB₁，取AB₁的中點H，連接HG、HM、GC，用三角形中位線定理，得到GH∥BB₁且GH=

1

2

BB₁，在正方形B₁BCC₁中證出MC∥BB₁且MC=

1

2

BB₁，所以GH與MC平行且相等，得到四邊形HGCM為平行四邊形，GC∥HM，最后結(jié)合線面平行的判定定理，得到CG∥平面AB₁M．
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-AB₁-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=BB₁，點N是B₁C的中點，
∴BN⊥B₁C，∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB，
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B₁C⊥平面BNG．
（Ⅱ）證明：連接AB₁，取AB₁的中點H，連接HG、HM、GC，
則HG為△AB₁B的中位線
∴GH∥BB₁，GH=

1

2

BB₁，
∵由已知條件，B₁BCC₁為正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M(jìn)為CC₁的中點，
∴CM=

1

2

CC₁，∴MC∥GH，且MC=GH，
∴四邊形HGCM為平行四邊形
∴GC∥HM，
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M．
（Ⅲ）解：以B為原點，BB₁為x軸，BC為y軸，BA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知M（1，2，0），A（0，0，2），
B₁（2，0，0），B（0，0，0），

AB1

=(2，0，-2)，

AM

=（1，2，-2），
設(shè)平面AB₁M的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB1 =0 n • AM =0

，∴

2x-2z=0 x+2y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

1

2

，1），
又平面AB₁B的法向量

m

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1 2

1+1+ 1 4

=

1

3

．
∴二面角M-AB₁-B的余弦值為

1

3

．

點評：本題給出一個側(cè)面是正方形的直三棱柱，求證線面垂直并探索線面平行的存在性，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．