Question

方程2x³+5x-2=0有唯一實(shí)根r，且存在唯一嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列a_n，使得

2

5

=

lim

n→∞

(ra1+ra2+ra3+…+ran)成立，則a_n=

 

．（n∈N^*）

Answer 1

分析：由方程2x³+5x-2=0有唯一實(shí)根r，0＜r＜1，r³+5r-2=0，對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，然后代入極限公式即可求解

解答：解：設(shè)f（x）=2x³+5x-2，則可知函數(shù) f（x）單調(diào)遞增，
因?yàn)榉匠?x³+5x-2=0有唯一實(shí)根r，且f（0）=-2＜0，f（1）=5＞0
所以0＜r＜1，r³+5r-2=0①
a_n是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列，則由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列
，ra1+ra2+…+ran=

ra1[1-(rd) n]

1-rd

∴

lim

n→∞

(ra1+ra2+…+ran)=

r

1-rd

=

2

5

②
①代入②可得，d=3，a_n=3n-2
故答案為：a_n=3n-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了高次方程的根的 求解，數(shù)列的和公式的應(yīng)用，數(shù)列極限的求解，利用了整體代換的技巧，考查了邏輯推理的能力．