Question

已知函數(shù)，函數(shù)g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，對(duì)于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，
使得g（x₀）=f（x₁）成立．
（1）求f（x）的值域．
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)
當(dāng) x∈（0，2]時(shí)，f（x）=2^|x-2|=2^2-x在（0，，2]上是減函數(shù)，此時(shí)f（x）∈[1，4）
∴f（x）的值域?yàn)椋篬0，4]；
（2）①若a=0，g（x）=-1，對(duì)于任意 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]，不存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）
②當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函數(shù)，g（x）∈[-2a-1，2a-1]
任給 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
則 ，∴
③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是減函數(shù)，g（x）∈[2a-1，-2a-1]
∴，∴
綜上，實(shí)數(shù) ．
分析：（1）對(duì)于分段函數(shù)的值域問(wèn)題要分段求解，然后再綜合即可得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)對(duì)于任意x₁∈[-2，2]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數(shù)f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù)f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，難點(diǎn)是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能．