Question

已知

（1）當時，求的極值；

（2）當時，討論的單調(diào)性；

（3）若對任意的,恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）極大值，極小值1；（2）參考解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由已知，求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，又.即可得到函數(shù)的極值點，從而求得極值.

（2）當時， 的導(dǎo)數(shù)為零時，得到兩個零點.所以要討論的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.

（3）因為對任意的,恒有成立.即求出的最大值.所以恒成立.再利用分離變量，即可得結(jié)論.

試題解析：（1）當a=1時可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 在 上是增函數(shù)

∴的極大值為，的極小值.

①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

②當時，在上是增函數(shù)；

③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)

（3）當時，由（2）可知在上是增函數(shù)，

∴

由對任意的a∈(2, 4)，x­1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，

由于，∴.

考點：1.函數(shù)的極值.2.函數(shù)的單調(diào)性.3.函數(shù)恒成立的問題.4.構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的最值解決恒成立的問題.