Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a．
（Ⅰ）求f（x）的周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并指出這時x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）降冪后化簡函數(shù)f（x），利用周期函數(shù)的定義求周期，由復合函數(shù)的單調性求單調區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并求得函數(shù)取最大值時x的取值集合．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=

3

sin2x+cos2x+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1．
∴f（x）的周期為π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）令t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，
則y=f（x）=2sint+a+1，t∈[

π

6

，

7π

6

]．
∴當t=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）_max=4，
∴2+a+1=4，即a=1．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了復合函數(shù)的單調性，訓練了函數(shù)值域的求法，是中檔題．